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考研高数复习：微积分基本定理的证明解读

该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中较基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

考研数学分析怎么复习？

一轮复习我开始的比较早。数学是一门基础性，其解题能力的提高，是一个长期积累的过程，因而复习时间就应适当提前，循序渐进。轮复习先从复习数学分析课本开始，尽量动手解答课后习题，不懂得话可以向同学请教。一定做到课后题例题每一道题都亲自动手做过。一定做到了解数学分析的基本内容、重点、难点和特点。比如数列极限、函数极限只是计算内容相对比较简单，轮复习就应该把它搞定，确保以后再遇到这类题目一定能、准确的作出。

第二轮复习是在九月份，这时，数学分析课本上的东西我们大致都通读了一遍。记得我的数学分析老师曾经说过：读一本书一般过程是先把一本书读厚了，再把它读薄了。第二阶段就是把书读薄的阶段。

数学分析的推理过程需要精细的推导，一旦出错就会影响后续的计算，因此需要学生耐心细致地进行思考和计算。另外，数学分析理论体系比较完整，需要对于各个定理和公式都有一定的掌握和运用能力。